SİTE İÇİ ARAMA
en çok merak edilen sorular ve cevapları



Web Uygulama: Sadi Atılgan

Web sitemizi yenileme çalışmaları nedeniyle bu köşede güncelleme yapamamaktayız, lütfen soru göndermeyiniz. Bilgilerinize sunarız.

Yanıtını Merak Ettiğiniz Soruları Bize İletmek İçin Tıklayınız...
Anahtar Sözcüğe Göre Arama Yapmak İçin Tıklayınız...
Son Eklenen 10 Soruyu Görmek İçin Tıklayınız...
Tüm Soruları Görmek İçin Tıklayınız...


Geri Dön...

Lise 2 öğrencisiyim ve bu sene karmaşık sayıları görüyoruz, i kare =-1 diye kabul ediyoruz, ama bunun imkansız olduğunu biliyoruz. Matematik pozitif bilim dalıysa yani ispatlara dayanıyorsa neden böyle bir şey var ve matematikten başka karmaşık sayıları kullanan bilim dalı var mı ? (Salih Salim)

Size hak vermemek elde değil. Böyle bir sayıyı hayal etmesi zor. Negatif bir sayının karekökünü almak, olmadığını bile bile! Diyorsunuz ya,"i2=-1 diye kabul ediyoruz, ama bunun imkansız olduğunu biliyoruz."1831 yılında Agustus De Morgan bakın ne diyor: "√-a sembolünün manadan yoksun daha doğrusu kendisiyle çelişen ve saçma olduğunu gösterdik. Ama yine de böyle semboller aracılığıyla cebirin çok yararlı olan bir bölümü kurulmuştur."(De Morgan; On the Study and Difficulties of Matematics) De Morgan, ünlü bir mantıkçıdır. Daha da can sıkıcı bir şey, bakın Euler neler diyor: 'Bu tür sayılar için gerçekten iddia edebiliriz ki, ne hiç bir şeydirler, ne hiç bir şeyden küçük veya büyük değildirler, bu da zorunlu olarak onların hayali ya da olanaksız oldukları sonucunu doğurur.'

Ama bir de şöyle düşünelim:Elimizdeki mevcut matematik araçlarıyla çözümü zor, uzun, hatta imkansız soruları, sanki tereyağından kıl çeker gibi çözüveren, bize daha önce düşünemediğimiz olanaklar, modeller sunan, fizikte, mühendislikte harika işler başaran bir sayılar kümesiyle karşı karşıyayız. Matematiğin bu en gönül okşayıcı kavramlarından birisine burun kıvırıp geçecek miyiz?

Önce Birkaç düzeltme: Matematik pozitif bir bilim değildir. Mantık ve Matematik formel disiplinler adı altında toplanır. Pozitif bilimler olarak adlandırılan ve ilgi alanları doğrudan doğruya doğal olayların incelenmesi ve açıklanması olan bilimlerden farklıdır. İlgilendiği konular gerçek şeyler, doğanın parçası olan şeyler olmak zorunda değildir. Ayrıca, sizin deyiminizle ispata dayanıyor olması, tanımlar ve aksiyomlar üzerine kurulmuş yapay bir kurgu olmasına olanak tanıyor. Matematik açısından "i2=-1 kabul ediyoruz ama bunun imkansız olduğunu biliyoruz” demek imkansız. Evet, -1'in reel karekökü yoktur. Ama bu, bizim tanımlarımızın, kurgumuzun sonucu böyledir. Örneğin:

x2+1=0

denkleminin çözümü olan sayıyı i olarak tarif etsek ve ona göre bir matematik kurgulasak, bunda yanlış olan nedir? Bu sayının neresi hayali? Tek problem, reel sayılar doğrusunun üzerinde nerede olduğunu bilemiyor olmamız mı? Evet, reel sayılar ekseninde değil ama nerede olduğunu da biliyoruz.

Biliyorsunuzdur ama tekrarlamakta yarar olabilir: Karmaşık sayılar z=x+yi yapısında olan sayılardır. Burada x ve y sıfırdan farklı reel sayılardır. Eğer x=0 ise, sayı hayali(sanal), y=0 ise sayı reel olacaktır.
Sorunuzdan, güçlüğün i sayısını kavramakta olduğu sonucu çıktığı için dikkatimizi i üzerine toplamış olsak da karmaşık sayıların bu genel tanımını hatırımızda tutalım. Karmaşık sayılar, geometrik olarak aşağıdaki gibi gösterilebilirler.






z=x+iy'nin xXy düzleminde, reel y eksenin yerini sanal(hayali)i ekseninin almış hali.



Karmaşık sayıların tarihi çok eski değil. MS 1500'ler civarında, daha matematikçilerin ve matematik meraklılarının negatif sayılara bile tam ısınamadıkları dönemlerde, √-1 bazı üçüncü derece denklemlerin çözümünde, işlemlerin bir aşamasında kendisini gösteriyor, ama sonuçta reel çözümlerin bulunmasını sağlayıp ortadan kayboluyordu. İtalyan matematikçi Girolamo Cardano 1545 yılında yayınladığı Ars Magna adlı eserinde, ilk kez, üçüncü derece denklemlerin çözümünü√-1'i kullanarak gösterirken, "negatif sayıların kökleriyle uğraşmak hem işkence gibi hem de çok karmaşık" diyecektir. Negatif kareköklerinin, işlemler sırasında, sanki kimyadaki katalizörler gibi işlemlerin içine girip çıkmalarının faydasını, 1572' de Rafelle Bombelli Cebir adlı çalışmasında, x3-15x–4=0 denkleminin reel köklerini hesaplayarak özlü bir şekilde gösterdi. Bu, √-1 in matematikteki faydası konusundaki şüphelere güçlü bir yanıt idi. Zamanla, bir taraftan negatif sayılarla ilgili kuşkular yavaş yavaş azalırken, negatif sayıların kareköklerıne ilgi de arttı. İlk kez
1637'de Rene Descartes 'hayali(sanal) sayılar' deyimini kullandı. Gerçi bu deyim biraz da bu tür sayıları küçük düşürmek amacını güdüyordu ama, bugün hala hepimizi ilk duyuşta şaşırtan bir isim olarak duruyor. Burada, Türkçede kullandığımız sanal sayılar yerine hayali sayılar sözcüklerini, sırf tarihi olarak bu sayılar kümesi hakkındaki şüphecilik ve aşağılamayı hissettirmek için seçtiğimizi belirtelim. Sanal sayıların hayali bir tarafı yok. Descartes, hayali sayılar derken, bugün bizim karmaşık sayılar dediğimiz sayıları kastediyordu. 1732'de İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, ilk kez √-1' sayısını i ile gösterdi. Daha sonraki yıllarda Fransız matematikçi Cauchy ve Alman matematikçi Gauss, karmaşık sayılar analizinin klasik teoremlerini ve karmaşık sayılar cebirini geliştirdiler.

Buradan, karmaşık sayıların, daha 19. yüzyılın başlarında, varlıklarını matematikçilere sağlamca kabul ettirmiş oldukları sonucunu çıkarmayalım. Girişte verdiğimiz, Morgan'ın 1831'de söylediklerine tekrar bir göz atınız.

i sayısının ve karmaşık sayıların çok kısa tarihi böyle.

Kullanıldığı alanlar ise pek çok. Elektrik mühendisliği, kuantum mekaniği, rgörelilik kuramı, sinyal analizi sadece birkaçı. Bu arada son bir bilgi; elektrik kuramında i yerine, akım şiddeti i ile karıştırmamak için j kullanılıyor.
Umarım i2=-1 tanımından rahatsız olmakta pek de yalnız olmadığınızı ama bunun üstesinden gelinebileceğini anlatıldık.

Saygılarımla
Muammer Abalı


Geri Dön...
Yazıcı Dostu Sayfa

Copyright 2007 Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu. Her hakkı saklıdır.