ÖDÜLLÜ SORU

Lagrange'ın 4 kare teoremi her pozitif tam sayının en fazla 4 tam karenin toplamı olarak yazılabileceğini göstermektedir. Örneğin 10=3²+1² ya da 15= 3²+2²+1²+1²
Bu teoremi kullanarak, 8'in her pozitif tam çarpanının 8 tek karenin toplamı olarak yazılabileceğini gösteriniz.

Doğru Cevabı Gönderenler: Aziz Kurtoğlu, Yağmur Şentürk, Mahmut Çakar, Fatih Bozdağ, Sehat Duran.

Cevaplarınızı bteknik@tubitak.gov.tr adresine gönderebilirsiniz.

* Geçen haftanın talihlisi, kura sonucu bizden TÜBİTAK Yayınları Bilgi Dizisi'nden "Zeka Oyunları 2" kitabını kazanan arkadaşımız Yağmur Şentürk Kendisini tebrik ediyor, adres bilgilerini bekliyoruz.

Çözüm: Serhat Duran'dan. Sayımız n olsun, 4 kare teoremine göre;
n=a²+b²+c²+d² yazabiliriz,

her iki tarafı 8 ile çarpalım;

8n=8a²+8b²+8c²+8d²;

8a²= (4a²+1)+(4a²-1);
= (2a+1)2+(2a-1)2-2 yazarsak ve bunu b², c² ve d² için de yazdığıızda,

8n=(2a+1)2+(2a-1)2+(2b+1)2+(2b-1)2+(2c+1)2+(2c-1)2+

(2d+1)2+(2d-1)²-8;

8(n+1)=(2a+1)²+(2a-1)²+(2b+1)²+(2b-1)²+(2c+1)²+(2c-1)²+

(2d+1)2+(2d-1)²;

2a+1 ve 2a-1 sayıları her zaman tek olacağı için tam çarpanı 8 olan her sayı için 8 tek kare toplamı şeklinde yazılmış olur.

30 HAZİRAN 2008

Amip A, ya ¾ olasılıkla 2 ye bölünecek, ya da ¼ olasılıkla bölünmeden ölecektir. Her nesilde aynı olasılıklar söz konusu olduğuna göre, amip A'nın  sonsuza kadar sürecek bir soy ağacına saip olma olasılığı kaçtır? Çözümünüzü gösteriniz.

Doğru Cevabı Gönderenler: Öskan Şavlı

Cevaplarınızı bteknik@tubitak.gov.tr adresine gönderebilirsiniz.

* Geçen haftanın talihlisi, kura sonucu bizden TÜBİTAK Yayınları Bilgi Dizisi'nden "Zeka Oyunları 2" kitabını kazanan arkadaşımız Öskan Şavlı Kendisini tebrik ediyor, adres bilgilerini bekliyoruz.

Çözüm:

Maalesef bu sorunun doğru cevabı, benim hatam yüzünden yanlş olarak verilmiştir. Düzeltir özür dileriz. M. Abalı

Geçen haftaki amip sorusu ile ilgili sitede yayınladığınız çözümün yanlış olduğunu düşünüyorum. Kabaca düşünüldüğünde bile sonucun 3/4 olamayacağı açık. Sonuç 3/4 ise amipin ilk seferde bölünmesi ihtimali ile sonsuza dek soyunu sürdürmesi ihtimali aynı olmuş oluyor. Başka bir deyişle ilk bölünmeden sonra soyunu sonsuza dek sürdürmesi kesin oluyor. Ayrıca çözümde bahsedilen beklenen değerin 0.75*2^n değil 0.75^n*2^n olması gerekir. Çözümdeki P(x)'li formül ise heçbir şey ifade etmemektedir çünkü soruda istenen n sonsuza giderken n. nesilde 1 ya da daha fazla amipin bulunma olasılığıdır. Ben kendi çözümümü tekrar yazıyorum, yine de benim yanlış olduğumu düşünüyorsanız lütfen beni buna ikna etmeye çalışın, iyi günler.

NOT: Yukarıda ilk bölünmeden sonra soyun sonsuza devamının kesinleşmesi örneğini folmülize edersem: İlk amipin soyunun sonsuza dek sürme ihtimali = ilk amipin bölünme ihtimali * bölündükten sonra oluşan 2 amipin soyu sonsuza dek sürdürme ihtimali Burada sizin çözümünüze göre şöyle bir eşitlik oluyor: 3/4 = 3/4 * 1 yani ilk seferden sonra oluşan 2 amipin soyu snsuza sürdürmesi kesin oluyor. Oysa benim çözümümde: 2/3 = 3/4 * 8/9 eşitliğinden oluşan 2 ampin soyu sonsuza sürdürmesi ihtimali 8/9 oluyor. bu değeri ayrıca 1 - (iki amipin birden soyu sürdürememesi ihtimali) eşitliğinden yani 1 - 1/3*1/3 = 8/9 'dan elde edebiliyoruz.

ÇÖZÜM: Ortamda x amip varsa sonsuza kadar soyun devam etme ihtimaline Px diyelim. İlk amipinin soyunu sonsuza dek sürdürme ihtimali P1 = p olsun. Ortamdaki her amip için soyunu (sonsuza) sürdürme ihtimali ilk amip ile aynı olacağından Px = 1 - (1-p)^x olur. (1 - (amiplerin hiçbirinin soyunu sonsuza götürememesi) ) İlk amipin soyunu sürdürmesi için bölünmesi ve oluşan iki amipin soyu devam ettirmesi gerekir. Yani P1 = 3/4 * P2 olur. Buradan devam edersek: p = 3/4 * (1 - (1-p)2) , p = 3/4 * (2p - p2) , 3*p2 - 2p = 0 , p = 0 | 2/3. Sonucun 0 olamayacağı anlaşılsa da bunu matematiksel olarak göstermek için benzer işlemleri 2. nesil üzerinden değil de 3. nesil (ilk amipin torunları) üzerinden yapalım. 3. nesilde ortamda 2 veya 4 amip bulunabilir. 2 amip bulunma ihtimali 3/4 * (2 * 3/4 * 1/4) = 9/32 'dir. 4 amip bulunma ihtimali 3/4 * (3/4 * 3/4) = 27/64 'tür. P1 = (3. nesilde 2 amip bulunma ihtimali) * P2 + (3. nesilde 4 amip bulunma ihtimali) * P4 , p = 9/32 * (1 - (1-p)2) + 27/64 * (1 - (1-p)4) denklemi elde edilir. Burada p yerine 2/3 yazdığımızda eşitlik sağlanmakta, 0 yazdığımızda sağlanmamaktadır. O halde P1 = p = 2/3 'tür.

Ayrıca aşağıdaki rekürsif fonksiyon ile soyun kaçıncı nesile ne olasılıkla devam edeceği bulunabilir. Soyun n. nesile kadar devam etme olasılığı f(n) olsun. f(1) = 1 f(n) = 3/4 * (2*f(n-1) - f(n-1)*f(n-1)) (n arttıkça f(n) 2/3 'e yakınsar)

Öskan Şavlı

01 HAZİRAN 2008

Hilesiz bir parayla n kere yazı tura atıyoruz. 2 kere üstüste tura gelmemesi olasılığı nedir?

ipucu: Geçen haftaki ödüllü sorunun tam çözümünü veren maalesef çıkmadı. Hakan Summakoğlu ve Serhat Duran çözüme çok yaklaştıkları için onları doğru saydık ama, gelecek haftaya aynı soruyu, biraz ip ucuyla taşımak istiyoruz.
n sayısının küçük değerleri için nasıl bir durum ortaya çıkıyor irdeleyelim:
f(n) n atışta içinde üst üste 2 yazı olmayan dizimizin eleman sayısını versin
n=1 olsa f(1)=2 : {Y,T}
n=2 olsa evrensel kümemizdeki eleman sayısı 4 tanedir: : {Y,Y}, {Y,T}{T,Y},{T,T}. Bunların üç tanesinde 2 Tane Y üstüste gelmiyor. O halde f(n)=3
n=3 ise evrensel kümemiz sekiz(2^3) elemandan oluşur ve {Y,Y,Y},{Y,Y,T} ve {T,Y,Y} dışındaki seçeneklerde iki tane yazı üstüste gelmez. Yani
f(3)=5 olacaktır.
n=4 için f(n)=8 bulunacaktır.
Buradan genel formülü bulabileceksiniz: Karşınızda sağa 2 eleman kaymış Fibonecci dizisi var. Bu dizinin kapalı formülü de kullanılarak sonuç elde edilebilir.
Cevaplarınızı bekliyoruz.

Doğru Cevabı Gönderenler: Hakan Summakoğlu, Serhat Duran, Mert Atmaca, Caner Bağcı, Hasan Ünlü, Aziz Kurtoğlu, İnan Can

Doğru Cevabı Gönderenler: Volkan Palaz, Akın Summakoğlu, Mert Atmaca, Özer Özbey, Orhan Şahin

Cevaplarınızı bteknik@tubitak.gov.tr adresine gönderebilirsiniz.

* Geçen haftanın talihlisi, kura sonucu bizden TÜBİTAK Yayınları Bilgi Dizisi'nden "Zeka Oyunları 2" kitabını kazanan arkadaşımız Caner Bağcı. Kendisini tebrik ediyor, adres bilgilerini bekliyoruz.

Çözüm: Çözümü görmek için lütfen tıklayın.

<< Önceki Ay ::: Sonraki Ay >>