HAFTANIN BULMACASI

Ünlü bir bulmaca. Bir tarafta 4 adet siyah tavla pulu, diğer tarafta 4 adet beyaz tavla pulu olsun. Karşı karşıya ve sıralanmış olan bu pulların arasında bir pul sığacak kadar boşluk olsun. Amacımız soldakileri sağa ve sağdakileri sola geçirmek. Pullar geri doğru hareket edemezler, eğer önlerindekinin önü boş ise üstünden atlayabilirler. Siyah tavla pulları 1, 2, 3, 4 ve beyazlar da a, b, c, d olarak markalanmış olsun. Bu işlemi gerçekleştirebilir misiniz? Hareket dizisini yazınız.

Doğru Cevabı Gönderenler: Sedat Eser, Vahdet Ozan Aydın, Büşra Erdoğan, Fatih Bozdağ, Serhat Duran.

Çözüm: Vahdet Ozan Aydın'dan. http://img179.imageshack.us/img179/9510/bulmacaew4.swf adresinde animasyonu izleyebilirsiniz.
Ozan arkadaşımızın bu animasyonu sitemize koyacak şekilde sadi.atilgan@tubitak.gov.tr adresine iletmesini rica ediyoruz.

30 HAZİRAN 2008

Üç torbamız olsun. Bunlardan birinin içinde 2 beyaz top, diğerinin içinde 2 siyah top ve sonuncunn içinde de 1 siyah bir beyaz top olsun. Bu torbalara, içindekileri gösteren  etiket yapıştırıyor olalım: BB, SS, SB. İşi hangimiz yaptı ise etiketlerin üçü de yanlış yapıştırılmış olsun. Etiketleri düzeltmek için seçtiğimiz  torbadan 2 adet top çekip karar veriyoruz. Acaba kaç adımda etiketleri düzeltebiliriz.

Doğru Cevabı Gönderenler:

Çözüm: Problemi her nasılsa hatalı , dolayısıyla sudan cevaplı olarak sormuşum. Aslında, torbalardan 2 değil 1 top çekiyor olmalıydık.
Her biri yanlış etiketlenmiş 3 torbanın bir tanesini bilince, hepsini bulmak zaten çok kolay. İşte bir çözüm: Kadir Sönmez'den
Tek seferde etiketleri düzeltebilirz
etiketlerin hepsi yanlış takıldığı için;
topları seçtiğimiz torbadan SS çıkmış olduğunu farzedelim SS etiketini bu
torbaya yapıştırırız bu torbadan çıkan etiketi SS etiketini söktüğümüz
torba değilde diğerine yapıştırırız
Ondan söktüğümüzüde SS etiketini söktüğümüz torbaya yapıştırırız .

Oysa soru böyle sorulunca, aslında her torbada 2 top olmasına da gerek yok. Kendi hatamı düzelteyim ve problemi öyle sorayım bu hafta:
Aynı şartlar ama torbadan 1 adet top çekiyoruz. Sadece bir adet top çekerek etiketleri nasıl düzeltiriz?

01 HAZİRAN 2008

Bir Yuvarlak masanın etrafına oturmuş bir gurup arkadaşsınız. Yani her birinizin 2 tane komşusu var. Saat yönünde hareket ettiğimizi var saysak, bir sizden önce bir de sizden sonra. Her birinizde bir miktar birbirinin eşi renkli top var. İlk sırada oturan(saatin 12 noktasında otursun), kendisinden sonraki oyuncudan 1 eksik topa sahip. 2. sıradaki ise 3.den bir eksik topa sahip. Ve böyle devam etsin.  Oyun 1. sıradaki oyuncunun 1 topu sağındakine geçirmesiyle başlıyor.İkinci sıradaki oyuncu üçüncüye 2 top, 3. sıradaki 4'e 3 top geçirerek devam ediyorlar.

Oyun, oyunculardan herhangi birisi oyun kuralına uygun topu geçiremediği noktaya kadar devam ediyor. Oyun iki komşuda, biri diğerinin 4 katı topa sahip olduğu noktada sona erdiğine göre, acaba masada kaç kişi oturuyorsunuz ve ilk oyuncu ne kadar topla oynamaya başladı?

Doğru Cevabı Gönderenler: Serhat Duran

Çözüm: Serhat Duran'dan

n kişi sayısı olsun,
t 1. kişinin top sayısı olsun,
k ise oyun içerisindeki tur sayısı olsun.

oyun başlangıcında

1. kişinin top sayısı=t
2. kişinin top sayısı=t+1
n. kişinin top sayısı=t+n-1

1. tur sonunda;

1. kişinin top sayısı=t-1+n
2. kişinin top sayısı=t
3. kişinin top sayısı=t+1
n. kişinin top sayısı=t+n-2

k tur sonunda;

1. kişinin top sayısı=t+k*(n-1)
2. kişinin top sayısı=t-(k-1)
3. kişinin top sayısı=t-(k-2)
n. kişinin top sayısı=t+n-(k+1)

burada oyunun 2. kişinin elindeki top sayısı 1 olunca biteceği görülür. (Bu noktada 1. kişinin elinde hiç top kalmamış olacaktır. Dolayısıyla, son tur toplar 1. oyuncuya geldiğinde, solundan aldığı toplara 1 top ekleyerek sağına geçirme şansı olmayacağından oyun sona erecektir. m.a)

bu durumda 1. kişi ile n. kişinin top sayıları arasında 4 katlık bir durum oluşur, yani 1. kişinin top sayısı n. kişinin top sayısının 4 katı olacaktır. (Dikkat edersek, tur sayısının 1. oyuncunun top sayısı ile aynı olcağını da göreceğiz. Serhat Duran, bu noktadan sonra çözümünü çıkmaza sokuyor.  2. kişide 1 top kaldığında oyun 2. kişiye gelemeyecektir.m.a)

ancak oyun 2. kişide bittiği için k tur sonunda 1. kişi 1 top daha 2. kişiye verecektir son durumda 1. kişinin elinde kalan top sayısı;(bu Nokta ne yazık ki hatalı m.a ) 

Çözümü getirecek eşitlikleri şöyle yazmalıydı:t'nci turda 1. oyuncunun elinde  hiç top kalmaz. Tur bittiğinde ise eline toplanan top sayısı t.n olur. Bu noktada 2. oyuncuda 1,3. oyuncuda 2, ve n. oyuncuda da n-1 top kalmış olmalıdır. Tekrar hatırlatalım, 1. oyuncu elinde tn tane top olmasına rağmen, bir fazlasını sağına geçiremediği için oyun bitiyor .O halde iki komşu oyuncunun topları biri diğerinin 4 katı olacağına göre durumu irdeleyelim: 2. ile n. oyuncular ardışık sayılarda toplara sahip oldukları için 4 kat ilişkisi içinde olamazlar. O halde ya 1. ile 2. arasında ya da n. ile 1. arasında bu ilişki olabilir.
1. ile 2. arasında durum 1.de 4 ve 2. de 1 top olunca söz konusudur. O zaman oyun  ilk oyuncu 1 top ve 3.oyuncu 3 top ile ve 3 kişi ile oynanıyor demektir. 3. oyuncuda 2, birinci oyuncuda 4 top var. Toplam top sayısı ise  6 olacaktr.
Ya da son oyuncuda n-1 ve birinci oyuncuda tn top olduğu durumda, eğer 4(n-1)=tn ise bu durum söz konusu olabilir.
N=1 ise t= oyun tanımsız
n=2 ise t=2
n=3 ise t=3/8. Bu hal için 1. ile 2. oyuncu arasında 4 kat ilişkisi olur. 3. oyuncu ile olamaz.
n=4 ise t=12/4=3 olmalıdır.

t=4(n-1)/n sayısının tam sayı olduğu kaç nokta var diye aramamız gerek başka çözüm olup olmadığını bulmak için. t=4-4/n sayısı n=2 ve n=4 için tam sayı sonuç veriyor. Onun dışında 4/n 12den küçük bir rasyomnal sayıdır. O halde 2 çözüm var:  oyuncu sayısı 3, ilk oyuncuda 1 top var veya oyuncu sayısı 4, ilk oyuncuda 2 top var.

<< Önceki Ay::: Sonraki Ay >>