SİTE İÇİ ARAMA
Hazırlayan: Muammer Abalı
Web Uygulama: Sadi Atılgan
Web sitemizin bu köşesinde güncelleme yapmamaktayız.
Bilgilerinize sunarız.


Matematikte Bir Buluşum Var


Matematik alanında "Bir Buluşum Var" diyorsanız, tıklayın...
Gönderilen son 10 buluş için tıklayın...
Gönderilen son 10 yorum için tıklayın...
Gönderilen buluşlar içinde arama yapmak için tıklayın...


Geri Dön...
Ana Sayfa...

Binom açılımıyla kare alma
Ferdi Öğet tarafından, 16-01-2007 tarihinde gönderildi.


İki basamaklı sayıların n'inci kuvveti.
Şöyle: Pascal üçgenini alıyorum. Mesela sayı 12 olsun... Karesini alalım Pascal'dan:
1a2 ab 1b2
12) a =1, b=2; yerine koy.
Sağdan başla.
1.1.1 2.1.2 1.4
144 çıktı sayı... Her kuvveti için geçerli. Ad Soyad: Ferdi Öğet , Yaş: 14 , Şehir: İstanbul ,


Bu buluşa yorum yazmak için tıklayın...

Buluş için yazılan yorumlar:
Bu yöntemin daima geçerli olduğunu ispatlamamız gerekir. Önce doğruluğu hakkında daha fazla fikir edinmek için birkaç örnek daha yapalım:
12'nin 3. kuvvetiyle deneyelim: Pascal üçgeni, 3 için 1,3,3,1 satırını verir. a=1 ve b=2 olduğundan sayımızın basamakları a3 3a2b 3ab2 b3 şeklinde olacaktır.
a3=1, 3a2b+3ab2=3.x2+3x4=6+12=18, b3=8
O halde sayımız sırasıyla 1, 18, 8 'basamak'larından oluşmalı. 18 olan onlar basamağının bir onluğunu yüzler basamağındaki 1'e eklersek, sayımız 288 olur. Bu sonuç doğru olmuyor. Doğru cevap 1728 olduğundan, 288 yanlış. O halde buluşunuz, 3. kuvvet için en az bir sayıda yanlış sonuç veriyor. Aslında bunu kasdetmediğinizi biliyorum. Buluşunuzu 3'cü kuvvet için açıklama zahmetine girmediğiniz için, ben kasten yanlış anlamış görünüp bu sonucu çıkardım.
Şöyle mi demeliydik galiba: İki basamaklı bir sayının n.ci kuvvetinin basamakları, Pascal üçgeninin n'inci satırındaki katsayıların, bu katsayıların temsil ettiği ifadelerle çarpımlarından elde edilebilir.
Böyle yaparsak:
a3=1, 3a2b=6, 3ab2=12, ve b3=8
1 6 12 8
12'nin bir onluk destesini 6'ya ilave edersek;
1 7 2 8.
Bir örnek daha yaparak, bulduğumuz önerme taslağını yeniden deneyelim. Sayımızı biraz büyütüp, üssünü de 5 alalım:
Örneğin sayımız 47 olsun. a=4, b=7.
Pascal üçgeninden basamakları bulalım: 1, 5, 10,10,5,1.
Basamakları yazalım:
45 5.44x7 10.43x72 10.42x73 5.4x7475

1024 5.256.7=8960 10.64.49=31360 10.16.343= 37730 5.4.2401=48020 16807

Şimdi sayımızı inşa edelim:
Birler basamağı: 7, elde 1680
Onlar basamağı:48020+1680=49700, basamak 0, elde 4970
Yüzler basamağı: 54880+4970=59850, basamak 0, elde 5985
Binler basamağı: 31360+5985=37345, basamak 5, elde 3734
On binler basamağı:8960+3734=12694, basamak 4, elde 1269
Yüz binler basamağı:1024+1269=2293
O halde, sayımız: 475=229345007 olur.
Hesap makinesi de aynı sonucu veriyor.
Gerçi oldukça eziyetli bir hesaplama. Fakat klasik yolla, yani 47'yi 5 defa yan yana yazıp çarparsak da işimiz daha kolay olmazdı.
Şimdi, bu yöntemin daima doğru sonuç verdiğini ispatlayalım:
Önerme: a ve b sayıları, iki basamaklı bir ab sayısının basamaklarını oluşturan pozitif tam sayılar olsun.
(ab)n in basamakları, soldan sağa an (nan-1b)....pkan-kbk...bn olarak ifade edilebilir. Burada pk, b'nin k'ıncı üssünü içeren terimin binom katsayısı, yani Pascal üçgeninin n'inci satırındaki, soldan itibaren k'cı katsayıdır.
İspat: ab sayısını 10a+b olarak yazalım. O zaman (ab)n=(10a+b)n olur. Önermemiz, zaten bu açılımın doğru olduğunu savunmaktan başka bir anlam taşımıyor. Dolayısıyla, binom açılımının daha önceden ispatlanmış olduğunu kabul ederek, ispatı tamamlamış sayıyoruz.
Güzel bir gözlem ve güzel bir buluş. Ancak, kusura bakmayın ama, buluşun ifade edilişi hem matematik ifade açısından, hem Türkçe açısından özensiz olmuş. Matematiği iyi anlamak kadar önemli olan, anlaşılır açıklıkta anlatmaktır da. Bu yönde de gayretli olmamız gerekiyor.
Saygılarımla
Muammer Abalı

(Muammer Abalı tarafından, 16-01-2007 tarihinde gönderildi.)
Copyright 2007 Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu. Her hakkı saklıdır.