SİTE İÇİ ARAMA
Hazırlayan: Muammer Abalı
Web Uygulama: Sadi Atılgan
Web sitemizin bu köşesinde güncelleme yapmamaktayız.
Bilgilerinize sunarız.


Matematikte Bir Buluşum Var


Matematik alanında "Bir Buluşum Var" diyorsanız, tıklayın...
Gönderilen son 10 buluş için tıklayın...
Gönderilen son 10 yorum için tıklayın...
Gönderilen buluşlar içinde arama yapmak için tıklayın...


Geri Dön...
Ana Sayfa...

Karekök-küpkök
Erhan Ateş tarafından, 22-08-2007 tarihinde gönderildi.


Merhaba, matematik üstüne tartışmalarınız gerçekten beni çok etkiledi. Bilmediğim bazı şeyleri öğrendim. Benim uzun süredir merak ettiğim bir soru vardı. Eğer yanlış yere yazıyorsam özürlerimi kabul edin.
Bildiğim kadarıyla bir sayıyı meydana getiren (1'den başlama kurallı) tek sayıların toplamı yine bize o sayıyı vermelidir. Toplanan tek sayılar kaç taneyse, karekök işleminin sonucu da budur.
Örn: 16'nın karekökü için:
1+3+5+7=16 burada 4 adet tek sayıyı topladık ve 16'nın karekökünün 4 olduğunu bulduk.
Bizler matematikle ilgili derslerde genellikle karekökünü alamadığımız sayıyı çarpanlarına ayırırız, ayırdığımız çarpanın karekökünü alırız ve karekökü alınamayan çarpan kök içinde kalır.
Örn: karekök(18)=karekök(9*2)=3*karekök(2)
Benim sorum ise hesap makineleri bu kök içinde kalan çarpanın örneğin 2, 3 gibi sayıların karekökünü nasıl alıyor? Yeri gelmişken küp kök almak hakkında hiçbir fikrim yok bunu da açabilirseniz çok sevinirim.

Erhan Ateş

Bu buluşa yorum yazmak için tıklayın...

Buluş için yazılan yorumlar:
Ardışık sayıların karelerinin farkları tek sayıları verir ve ardışık tek sayıların toplamı sonuncu tek sayıya 1 ekleyip yarısını alarak bulduğumuz sayının karesidir. Bu bağıntıları yukarıda söylemişsiniz. Binom teoreminin sonuçları olarak bu iki bağıntı da bulunabiliyor.
Bir sayının karesini, sizin yaptığınız gibi bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı olarak yazabilmek için, sayının asal çarpanlarının içinde, asal çarpanlardan en az bir tanesinin en az 2 defa bulunması gerekir. 18 sayısının 2 tane 3 çarpanı var:18=2.3.3=2.3². Ancak 21=3.7 olduğu için sizin izlediğiniz yolla karesine yaklaşmak mümkün olmaz. 24 sayısı ise 233 olduğundan 4.6 olarak yazılabilir. Eğer 21 sayısında gördüğümüz gibi, sayı tam kare çarpan içermiyorsa, o zaman, 21=(4+x)² veya 21=(5-y)² şeklinde yazar, binom formülü ile açar, bir tam kare yardımıyla üstten veya alttan yaklaşabiliriz. Sayıların kare kökünü almak için geometrik ya da binom teoremi aracılığıyla yaklaşmak oldukça eski. Bunların en ünlüleri, yaklaşık 4000 yıl önce Babilliler tarafında bulunmuş ve 'Babil Yöntemi' olarak bilinen yöntem. Diğerleri arasında, sonraki yıllarda geliştirilmiş olmasına rağmen sonuçları Babil yönteminden daha az başarılı olan ve Hintli matematikçi Bakshali onuruna Bakshali Yöntemi, Babil yönteminin bir çıkarımı olan Newton Yöntemi sayılabilir. Bu algoritmalar hakkında ayrıntılı bilgi www.plainmath.orge, sitesinde bulunabilir. Amacımız karekök almanın en hızlı yöntemlerini vermek değil. Ancak asıl yaklaşımın mantığını vermek.
Doğrusu, hesap makinelerinin karekök hesabını hangi yöntemle yaptıklarının kesin olarak bilmiyoruz. Bu amaçla kurgulanmış birçok değişik çip olduğunu sanıyoruz. Kullanılan metodun, daha çok Newton metodu olduğu kanısındayız. Aşağıda kısaca, küpkök hesabında bu metodu göreceksiniz.

Küp kök hesaplamak için birden fazla algoritma var. Burada hem hesabın çabuk yapıldığı hem de hatırlaması kolay olan Newton Metodu'nu özetleyeceğiz.
Diyelim ki 74 sayısının küp kökünü hesaplayacağız. x³=74 ise x=?
f(x)= x³-74
f'(x)=3x²

Şimdi bir sayısı seçelim, öyle ki küpü 74'ten küçük ama ona en yakın tam küp olsun: 3'ün küpü 27, 4'ün küpü 64 ve 5'in küpü 125. Demek ki aradığımız sayı 4 ile 5 arasındadır. 4,2 seçelim. =4,2 olsun.
Newton yöntemi iterasyonlarla küp köke yaklaşmayı sağlar:



Benzer şekilde adımları da hesaplanarak küp köke istediğiniz kadar yaklaşabilirsiniz.
Bu metod karekök hesabı için kullanıldığında tamamen aynı formül kullanılacaktır. Örneğin 8'in karekökünü bulalım:

Umarım sorunuzun cevabı olmuştur.

Saygılarımla.
M. Abalı
(Muammer Abalı tarafından, 22-08-2007 tarihinde gönderildi.)
Copyright 2007 Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu. Her hakkı saklıdır.