SİTE İÇİ ARAMA
Hazırlayan: Muammer Abalı
Web Uygulama: Sadi Atılgan

Geri Dön...
Ana Sayfa...

Ardışık Sayılarda Kolay Toplama
Uğur Baran KARAKAŞ tarafından, 25-01-2007 tarihinde gönderildi.


ARDIŞIK SAYILARDA KOLAY TOPLAMA ör:1+2+3+4+5`i yapmak için ilk terim + son terim x terim sayısı bölü 2 formulü vardır. 2.yolu ise son terime 1 eklenir. Oluşan sayı eski son terimle çarpılır 2`ye bölünür. 5+1=6 6x5=30 30:2= 15 olur. Bu normal toplamada da aynı sonucu çıkarır. Ad Soyad: Uğur Baran KARAKAŞ , Yaş: 11 , Şehir: ERZURUM


Bu buluşa yorum yazmak için tıklayın...

Buluş için yazılan yorumlar:
Birinci gözleminiz, yani ardışık sayıların ilki ile sonuncusunu toplayıp ikiye bölme fikriniz, eğer ilk ve son sayının toplamı tek ise, tam sayı vermez. Dolayısıyla, işlem tam sayılar kümesi içinde bitirilememiş olur. Diğer taraftan, ilk ve son sayı toplamının tek olması için, sayılardan birisinin çift birisinin tek olması gerekir. Bu durumda ise, dizinin eleman sayısı mutlaka çift olacaktır (bunu kanıtlayabilir misiniz?). Sonuçta, buçuklu bir sayı, çift bir sayı ile çarpılacağı için, tam sayı sonuç verecektir. O halde, ispatlamaya çalışalım ilk gözlemi:

Önerme: a' dan n' ye kadar ardışık tam sayıların toplamı T ise; T=(a+n)/2*(n-a) dır.
İspat:
= (a+n)(n-a) =n(a+n)-a(a+n)
=n[(n+1)+(a-1)]-a[(a+1)+(n-1)]
=n(n+1)+n(a-1)-a(a+1)-a(n-1)
=[n(n+1)-a(a+1)]+na-a-an+a
=n(n+1)-a(a+1) buluruz. Şimdi bu sayıyı baştan beri kenarda bekleyen 2'ye bölelim.
A' dan n' ye kadar ardışık sayıların toplamı=∑ani=n(n+1)/2-a(a+1)/2. Burada eşitliğin sağındaki iki terimden ilki, birden n'ye kadar, ikincisi de 1'den a'ya kadar olan ardışık sayıların toplamını veren formüllerdir. O halde:
a'dan n'ye kadar olan sayıların toplamı=1'den n'ye kadar olan sayıların toplamı eksi 1'den a'ya kadar olan sayıların toplamı. Bu ise zaten ispatımızı tamamlar. Burada gözlememiz gereken bir hususu belirtelim: Sizin 'iki yolu vardır, sonuncu terime 1 eklenir' dediğiniz yol ile ilk yolunuzun bir ve aynı yol olduğudur. Birinden diğerine kolaylıkla geçebiliyoruz. Burada ispatını yaptığımız, genel formüldür. Eğer a sayısını 0 alırsak, 1'den itibaren sayıların toplamını bulmuş oluruz.

Saygılarımla
M.Abalı

( M.Abalı tarafından, 25-01-2007 tarihinde gönderildi. )
Bu formülün sadece ardışık sayılarda değil sabit aralıklı bütün serilerin toplamını verebileceği kanısındayım.Tabi ki ilk öneriniz için konuşuyorum.ilk terim ile son terimin toplamı tek olduğu zaman terim sayısı çift olur çift olduğu zamansa zaten herhangi bir sorunla karşılaşılmaz.
( Mehmet Şahan tarafından, 15-02-2009 tarihinde gönderildi. )
Copyright 2007 Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu. Her hakkı saklıdır.