SİTE İÇİ ARAMA
Hazırlayan: Muammer Abalı
Web Uygulama: Sadi Atılgan

Geri Dön...
Ana Sayfa...

Ardışık sayıları toplama formülleri
??? tarafından, 25-01-2007 tarihinde gönderildi.


ARDIŞIK SAYILARI TOPLAMA FORMÜLLERİ
-Burada iki sayı arasındaki tüm sayıları toplamaya yarayan bulduğum formülleri yazıyorum.

x, y, z € R için,
y >= x >= z
x'in alabileceği değerler toplamı:
((y*(y+1))/2)-((z*(z+1))/2)+z
y > x > z
x'in alabileceği değerler toplamı:
((y*(y+1))/2)-((z*(z+1))/2)-y
y >= x > z
x'in alabileceği değerler toplamı:
((y*(y+1))/2)-((z*(z+1))/2)
y > x >= z
x'in alabileceği değerler toplamı:
((y*(y+1))/2)-((z*(z+1))/2)-y+z

not: ">=" bilgisayar ortamında büyük-eşit demektir. Ad Soyad: ???


Bu buluşa yorum yazmak için tıklayın...

Buluş için yazılan yorumlar:
Önce bir düzeltme yaparak değerlendirmemize başlayalım: Ardışıklık ilişkisi, kelime anlamından da kolayca takip edilebileceği gibi, ardından gelme, araya başka sayı girmeden birbirini takip etmeyi gerektirir. Örneğin 5'in ardışığı dediğimizde 5+1= 6 sayısını kastederiz. 5'in tek ardışığı 5'in ardından gelen ilk tek sayıyı yani 5+2=7'yi kasteder. Dolayısıyla, ardışıklık ilişkisinin olabilmesi için, sayı kümesinde sıralama yapılabilmelidir. Bu özelliğin, tam sayılarda olduğunu biliyoruz. Doğal olarak, tam sayıların herhangi bir alt kümesinde, örneğin doğal sayılarda, tek sayılar kümesinde ya da asal sayılar kümesinde, vb. sıralama yapılabilir. Ancak reel sayılar kümesi bu özelliği taşımaz. Reel sayıların küçüklük, büyüklük, eşitlik, ilişkisinden bahsedebiliriz ama kanıtlanabilir ki, eğer x ve z €R ve x > z ise, öyle bir y bulunabilir ki x > y > z ilişkisi geçerlidir. Dolayısıyla da x€R'nin ardışığından bahsetmek doğru değildir. Yukarıda x, y, z €R deniyor. Bunu düzelterek, x, y, z € Z diyelim.
Ayrıca, kullandığınız toplama formülleri incelendiğinde görülüyor ki, bu formüller sadece pozitif tam sayılarda geçerliliği olan formüller. Dolayısıyla, tekrar düzeltip x, y, z €N dememiz gerekiyor. Son bir düzeltme de yine ardışık sayılarla ilgili: Yukarıda, x, y, z sayılarının değerleri ile ilgili 4 farklı durum saymışsınız. Ortadaki sayı hem bir büyüğüne, hem bir küçüğüne eşit olursa; ikisine de eşit olmazsa, küçüğüne eşit büyüğüne eşit olmazsa ve büyüğüne eşit küçüğüne eşit olmazsa. Ve bu dört hal için çözümler vermişsiniz. Burada ardışık sayıların tanımlarına tekrar dönmekte yarar var: belirli bir kurala göre birbirini takip eden sayılara ardışık sayılar denir. Birbirinin aynı olan sayılara ardışık sayılar demiyoruz. Aynı şekilde, önce birbirine eşit, sonra ortadaki sayı büyüğünden küçük olarak tanımlanmış, yani her adımda kuralı değişebilen ardışık sayılardan da bahsedilemez. Özetlersek, sizin 4 değişik durumunuz aslında sadece 1 tane olmalıdır. O da y > x > z olanıdır. Şimdi Önermenizi yazabiliriz:
Önerme: z < x < y €N ise ∑1zi<∑1xi
1yi ilişkisi doğrudur.
İspat: ardışık sayıların toplama formülü ve ardışık sayıların birbirleri cinsinden yazılabilmeleri nedeniyle, yukarıdaki eşitsizlik kolaylıkla ispatlanabilir.
1zi+x=∑1xi' dir.
Benzer şekilde:
1xi+y=∑1yi'dir. O halde ∑1yi-∑1zi=x+y'dir x+y sıfırdan farklıdır çünkü ardışık doğal sayılardırlar. Göstermemiz gereken de bu idi.

Saygılarımla
M.Abalı

( M.Abalı tarafından, 25-01-2007 tarihinde gönderildi. )
Copyright 2007 Türkiye Bilimsel ve Teknolojik Araştırma Kurumu. Her hakkı saklıdır.