26 Aralýk 1997'de Türk matematiðinin en büyük öncüsü Ord. Profesör Dr. Cahit Arf'ý kaybettik. Bu vesile ile "Bilim ve Teknik" benden de, onun anýsýna bir yazý yazmamý istedi. Her cismin görüntüsünün görüþ açýsýna göre deðiþtiði gibi, bir insanýn portresi de bakan þahsa göre çeþit çeþit olabilir, fakat bu deðiþik veriler sonradan bir araya geldiðinde, týpký bir mozaik gibi, bir bütünü, tam olmasý imkansýz olsa da, gözümüzün önüne serecektir. Bunu düþünerek ben de matematikçi Cahit Bey ile ilgili bazý izlenimlerimi yazmaya çalýþacaðým.

1. "Ne istiyorsun?"
1960 yýlýnýn ilk baharýnda Ýstanbul'a ilk defa geliyordum. Amacým Ýstanbul Üniversitesi Matematik Enstitüsü'nde Cahit Bey'i ziyaret etmekti. Enstitünün geniþ merdivenlerinden çýkarak 3. kata eriþtiðimi hatýrlýyorum. Onun ofisinin kapýsýný açtýðýmda genç bir beyle özel bir seminer yapýyordu. Anladýðým bir cümle þöyleydi, zira o zaman Türkçem yoktu. Ona Almanca olarak Almanya'dan Hasse'nin yanýndan geldiðimi söylediðim zaman yerinden kalkýp çok sýcak bir tavýr ile bana hoþ geldin diyerek elini uzattý. Çok sonralarý Cahit Bey'in bana anlattýðýna göre, ilk defa beni gördüðünde, öðrencisi zannedip, "Ne istiyorsun?" demiþ. O gün Cahit Bey'le seminer yapan genç bey de, o zamanlar asistaný olan þimdi ÝÜ matematik profesörlerinden Özden Çelik Bey imiþ. Hamburg'ta Hasse'nin yanýnda iki yýl kaldýktan sonra oradan ayrýlýrken, kendisine Türkiye'ye gideceðimi söylediðim zaman, bana ÝÜ'nde eski doktora talebesi olan Cahit Arf'ýn bulunduðunu, onu muhakkak görmemi söylemiþti, hatta bir de beni tanýtan mektup vermiþti. Bu mektup zarfýnýn üzerinde Cahit Arf adýný görünce, "Kahit Arf" okuyacaðýný sanarak, o þekilde telaffuz ettim. Zaten Japonya'da iken, soradan bahsedeceðim Cahit Bey'in bir çalýþmasýndan, "Kahit" Arf ismini bilirdim. O zaman Hasse, bunun (Türkçe þekliyle) "Cahit" Arf okunacaðýný bana anlattý. Her ne ise, böylece yukarýda söylediðim gibi Cahit Bey'le ilk tanýþmam oldu. Bende Cahit Bey'in býraktýðý ilk izlenim, görünüþ olarak orta veya doðu Avrupalý tipinde ve çok sempatik, sýcak ve sevecen davranýþlarýydý. O günden ölümüne kadar geçen 37 yýl içinde, o benim meslektaþým, aðabeyim ve aile dostumuz olarak kaldý.

2. 1930-40 arasý Göttingen
Birinci ve Ýkinci Dünya Savaþlarý arasýnda matematik camiasý oldukça hareketli bir zaman yaþamýþ, bilhassa sayýlar teorisinde çok önemli geliþmeler kaydedilmiþtir: Uzun zamandýr beklenen (global) Abelien sýnýf-cisim teorisinin cebrik sayý-cisimleri için nihayet T. Takagi tarafýndan kurulmasý (1920); buna ilaveten Resiprosite kanununun E. Artin tarafýndan keþfedilmesi (1926); K. Hensel'in p-adik sayýlar teorisini kurmasý (1910) bunun H. Hasse tarafýndan Abelien sýnýf-cisim teorisi üzerine uygulanmasý, yani "lokal" Abelien sýnýf-cisim teorisinin kurulmasý (1925) gibi. (Verilen tarihler benim hafýzamda kalanlardýr, kesin olmayabilir.) Bugünkü gözden bakýldýðýnda çok tuhaf gelen þey, daha çok zor olan "global" teorinin, daha kolay olan "lokal" teoriden önce kurulmasý, hatta Hasse'nin ilk çalýþmasýnda, "lokal" teorinin "global" teori yoluyla elde edilmesidir. Fakat, böyle þeyler matematik tarihinde olaðandýr. Her ne ise, bu geliþmeler bunlarla ilgili birçok sorularý da beraberinde getirmiþtir. Örneðin, daha çok önceden fark edilmiþ olan, sayýlar teorisi ile cebrik fonksiyonlar teorisi arasýndaki benzerliðe dayanarak, Takagi teorisinin cebrik fonksiyon-cisimleri üzerinde taþýnabilip bilemeyeceði sorusu gibi. Özellikle, E. Artin'in doktora tezinde, sonlu katsayýlý cebrik fonksiyon cisimlerin aritmetiði ile cebrik sayý-cisimlerinki arasýndaki kuvvetli bir benzerliðin gösterilmesi ve bu tipten cebri fonksiyon-cisimlerine ait (kongruans) zeta-fonksiyonlarý için "Riemann hipotezi'nin bir analojisinin ortaya atýlmasýndan sonra, yukarýda belirtilen "Abelien sýnýf-cisim teorisinin sonlu katsayýlý fonksiyon-cisimleri üzerine kurulmasý" sorusu ile "kongruans Zeta-fonksiyonlarý için Riemann hipotezinin ispatlanmasý" problemi o günkü en aktüel konular olmuþtur. Bütün iddialý genç matematikçiler, bu konular ile ilgilenmiþ, böylece coþkulu bir zaman baþlamýþtýr. Not olarak, birincisinin F.K. Sohmidt ve E. Witt gibi Göttingen matematikçileri tarafýndan 1935'lerde halledildiðini ve ikincisinin ise 1945'de A. Weil tarafýndan ispatlandýðýný kaydedelim. Bu heyecanlý zamanda, bu konular üzerindeki araþtýrmalar bakýmýndan Göttingen Üniversitesi bir merkez konumundaydý. Diðer taraftan, Paris'te de J. Herbrand'ýn önderliðinde, C. Chevalley ve A. Weil gibi genç matematikçiler, fazla uygulamalý matematiðe eðilimli o zamanki Fransýz matematiðine karþý çýkarak bir grup oluþturmuþ ve yukarýda belirtilen sorulara yönelik araþtýrmalar yapmaya baþlamýþlardýr. Bilhassa A. Weil'in Cahit Bey'in ƒcole Normale SupŽrieure'de kaldýðý günlerde, kendisinden 2-3 sýnýf büyük olduðunu düþünürerek, yukarýda belirtilen genç Fransýz matematikçilerinin faaliyetleri ve o günkü matematik camiasýnda olup bitenler ile, genç Cahit Bey'in yakýndan ilgilendiðine kuvvetle inanabiliriz. Bu nedenlerden, 1933 Üniversite Reformu çerçevesinde, doktorasýný yapmak üzere yurtdýþýna gitme fýrsatý çýkýnca, hiç tereddüt etmeden, Göttingen'e Hasse'nin yanýna gitmiþtir.

3. Hasse-Arf Teoremi
Bugün "lokal" bir cisim ile, rank 1 ve diskret (yani kabaca Z-deðerli) bir valuasiyona göre tam olan bir cisim anlýyoruz. p-adik sayý-cismi. Qp, bunun tipik bir örneðidir. Lokal cisimler teorisi, daha önce de belirtildiði gibi, H. Hasse tarafýndan çok efektif olarak kullanýlmaya baþlanmýþtý. Ancak, o zamanki lokal cisimler teorisi, daha ziyade sayý-cisimleri ve (sonlu katsayýlý) cebrik fonksiyon-cisimleri üzerine uygulanmak maksadýyla geliþtirildiði için, daima kalan sýnýf cisminin sonlu bir cisim olduðu kabul edilerek kurulmuþ idi. Dolayýsýyla, bu oldukça sýnýrlý þartýn yerine daha genel bir þart altýnda bu teorinin kurulmasý çok arzu edilen bir husus idi. Herhalde onun içindir, Cahit Bey'in Göttingen'de Hasse ile yaptýðý ilk görüþmede, Hasse ona hemen bu problemi doktora konusu olarak tavsiye etmiþtir. Cahit Bey'in bana anlattýðýna göre, bu görüþmeden sonra, kendisi bir daha hiç Hasse ile görüþmemiþ, ta bir yýl sonra doktora tezini bitirinceye kadar. "Untersuchungen Über Reinverzweigte Erweiterungen Diskret bewerteter Perfekter Körper" adlý Cahit Bey'in tezinde, kalan sýnýf cisminin sonlu olmasý þartý yerine daha çok genel bir þart altýnda lokal cisimler teorisi kurulmuþtur. Bugün bu teori üzerine yazýlan kitaplarýn içeriði (örneðin J-P. Serre: Corps locaux (Hermann) kitabýna bakýnýz) Cahit Bey'in tezinde þekillenmiþtir diyebiliriz. Özelikle, bu tez içinde yer alan ve daha önce J. Herbrand tarafýndan incelenmiþ olan yüksek mertebeden dallanma gruplarýnýn indisleri ile ilgili Hasse Arf teoremi çok meþhurdur. Bu teorem, yukarýda belirtilen indisler arasýnda (dallanma gruplarýnýn zinciri içinde) sýçramalara tekabül edenlerin tam sayýlar olduðunu ifade etmekte olup, Arf'ýn temsillerinin varlýðýnýn ispat için de kilit nokta teþkil ettiðinden ün kazanmýþtýr. Böylece Cahit Bey, bir yýl gibi kýsa bir zaman içinde mükemmel bir doktora tezi hazýrlayarak, kendisinin olaðan üstü kabiliyetini kanýtlamýþ oluyordu. Ayrýca Göttingen'deki seçkin matematikçiler ile kaynaþmýþ olan genç Cahit Bey, sayýlar teorisine ait zamanýn en uç araþtýrma havasýný bol bol teneffüs etmiþtir. Fakat ayný zamanda bu zonelerin, Ýkinci Dünya Savaþý'na doðru sürüklenen Almanya için uzun karanlýk zamanlarýn baþlangýcý olduðunu da ilave etmemiz gerekir.

4. Gençlik Rüyasý
Cahit Bey bana sýk sýk söylerdi. "Benim en büyük arzum Non-Abelien sýnýf-cisim teorisini kurmaktýr". Abelien sýnýf-cisim teorisinin nasýl kurulup geliþtirildiðini daha önce kýsaca söylemiþtim. Baþlangýçta oldukça düzensiz kurulmuþ olan "global" ve "lokal" teoriler, çeþitli matematikçiler katkýlarýyla düzenli hale getirilmiþ, bilhassa 1940'ta C. Chevalley'in "idŽle" kavramý yardýmýyla, global teoriyi lokal teori üzerine çok güzel bir þekilde kurmasýndan sonra, bu iþ artýk tamamlanmýþ sayýlmýþtýr. Ancak "Abelien" sýnýf-cisim teorilerinin adlarýndan da anlaþýlacaðý üzere bu teoriler bir cismin Abelien cisim geniþlemeleri için geçerli olan (global ve lokal) sýnýf-cisim teorilerinin kurulmasý, yani "Non-Abelien" sýnýf-cisim teorilerinin icat edilmesi, çok arzu edilmektedir. Bu çok zor problem halen tam olarak çözülmüþ deðildir ve her iddialý matematikçinin ilgisini çeken bir sorudur. Ýþte Cahit Bey'in çözmeyi çok arzu ettiði problem de budur. Tahminime göre, Cahit Bey, Ecole Normale'de bulunduðu günlerden beri bu problem ile ilgilenmekte olduðu muhtemeldir. Not olarak hatýrlatayým, E. Galois kendisi de bir zamanlar Ecole Normale'da idi. Kronecker'in gençlik rüyasýna benzeterek, buna Cahit Bey'in gençlik rüyasý diyeceðim.

Þimdi Chevalley'in yaptýklarýna baktýðýmýzda, global teorinin lokal teoriden elde edileceði anlaþýlmaktadýr, dolayýsýyla, yukarýdaki problemi incelerken, ilk önce lokal teorinin kurulmasýndan iþe baþlamamýz gerekir. Fakat, bu durumda mevzuu bahis olan en basit lokal cisimler, ya p-adik sayý-cismi veya sonlu katsayýlý formel kuvvet serilerinin cismidir. Ýkinci tipten bir cisim içindeki hesaplar, birinci tipten olanlar içindekinden daha kolay olduðuna göre, ilk hedef olarak, sonlu katsayýlý formel seriler cismi üzerinde "Non-Abelien" sýnýf-cisim teorisini kurmaya çalýþýlmasý çok uygun olacaktýr. Cahit Bey'in bu problem üzerinde düþündükleri aþaðý yukarý böyle olmuþtur diye tahmin ediyorum.

1938 yýlýnda Türkiye'ye dönen Cahit Bey, Göttingen'de kazandýðý yüksek potansiyel ile matematiksel bakýmýndan tam formundaydý; özellikle lokal cisimler üzerinde üstün tecrübe sahibiydi. Dolayýsýyla, kendisinin gençlik rüyasý üzerinde konsantre etmesi için tam zamaný gibi göründüðü halde, kendisi baþka konular üzerine araþtýrmalara yönelmiþtir. Bunun sebebini hiçbir zaman öðrenmedim. Fakat, bu hususta Göttingen zamanýndan beri iyi arkadaþý olan E. Witt'in tesirinde kaldýðý muhtemeldir. Böylece yurdumuza döndükten sonraki 15 yýl içinde Cahit Bey, kuadratik formlar ve cebrik eðriler ile ilgilendi. Bu araþtýrmalarýn sonuç olarak karakteristiði 2 olan bir cisim üzerindeki kuadratik formlar için günümüzde "Arf invariantlarý" adý ile anýlan belli deðiþmezler inþaa etti, ayrýca bir cebrik eðrinin dallanma noktasýna ait "Arf halkasý"ný keþfetti. Tabii bunlar da matematiðe büyük katkýlardýr, fakat bunlar üzerinde þimdiye kadar çok konuþulduðu için burada detaya inmeyeceðim. Kendisinin gençlik rüyasý ile ilgili ilk çalýþma, 1955'te Hamburg'da neþredilmiþ olan, ve "Construction of the separable closure of the field of formal power series of characteristic p" adýný taþýyan makale olmuþtur. Bu kendisinin Non-Abelien lokal sýnýf-cisim teorisini kurma yönüne attýðý ilk somut adýmdýr. Daha önce de söylediðim gibi Cahit Bey, sonlu katsayýlý formal seriler cismi üzerinde Non-Abelien lokal sýnýf-cisim teorisini kurmayý amaçlýyordu. Bu maksat için tabiki bu cismin "separable" kapanýþýnýn yapýsýnýn bilinmesi gerekiyor. Ancak, Cahit Bey bunu yaparken, hiç kimsenin denemeye bile cesaret edemeyeceði bir yol tutmuþtur, yani bu kapanýþý, somut olarak jeneratörler ve bunlar arasýndaki baðýntýlar yardýmýyla ifade etmeye çalýþmýþ ve gerçekten baþarý ile yapmýþtýr. Ayrýca, bu ifadelerine dayanarak, sonlu katsayýlý formel seriler cisminin mutlak Galois grubunun somut ifadesini de elde etmiþtir. Bildiðim kadarýyla, bu sonuç, sayýlar teorisinde ender rastlanan "concrete description"lardan biridir. Japonya'da iken, bu "Kahit" Arf'ýn makalesinin varlýðýný Y. Kawada'nýn bir çalýþmasýndan öðrenmiþtim. Kanaatýmca bu çalýþma, Cahit Bey'in yaptýklarý arasýnda en önemli olanlarýndan biridir. Cahit Bey, bu baþarýyý elde ettikten sonra, geliþtirdiði formalizm ile Non-Abelien lokal sýnýf-cisim teorisini kurmaya koyulmuþtur. Bilhassa 1965-67 yýllarý arasýnda Institute for Advanced Study, Princeton ve diðer Amerikan üniversitelerinde bulunduðu sýralarda, bu konu üzerinde ne kadar yoðun olarak çalýþtýðýný, kendisinin sonradan bana gösterdiði 500 daktilo sayfasýný aþan ince hesaplardan bizzat gözümle görmüþtüm. Ancak, bu tip hesaplara dayanan yaklaþým, sadece hedefin belli olduðu hallerde efektif olmakta, aksi takdirde dayanýlmaz derecede zaman almaktadýr. Nitekim, Cahit Bey'in ömürü, bu yolla hedefine ulaþmaya yetmemiþtir.

5. Langlande Programý
Cahit Bey'in gençlik rüyasý ile ilgili olarak, 1970'lerden beri üzerinde çok konuþulan Langlands programý hakkýnda söz edeceðim. Tabi sýnýrlý sayfalar içinde bunun ne olduðunu anlatmak mümkün olmadýðýndan, sadece lokal Langlands programý hakkýnda kýsa bir açýklama ile yetineceðim. F, (Hasse anlamýnda) lokal bir cisim olmak üzere, ile F'nin "seperable" kapanýþýný ve Gal(/F) ile de F'nin mutlak Galois grubunu gösterelim. Ayrýca T(F), Gal(/F) grubunun indirgenemez temsillerinin ekivalens sýnýflarýnýn oluþturduðu Tannakien katigorisi olsun ve S(F) de GL(n,F), (n=1,2...) genel linear gruplarýn otomorfik temsillerinin ekivalens sýnýflarýndan oluþan kategori olsun. Bu durumda, F üzerindeki lokal Lagnlands programýnda, F'nin her F1 gibi (sonlu mertebeden, separable cisim geniþlemesi için, T(F1) kategorisinden S(F1), kategorisi içine, oldukça çok sayýda þartlarý saðlayan, jF1 gibi bijektif bir dönümünün (buna Langlanda dönüþümü denir) var olup, F1F2 halinde jF1 ve jF2 dönüþümlerinin verilen baþka birçok þartlarý saðlayabilip, bilemeyeceði sorulmaktadýr. Eðer bütün bu þartlarý saðlayan, Langlands dönüþümlerinin bir takým var ise, F cismi üzerindeki lokal Langlands programý çözüldü diyeceðiz. Eðer F global bir cisim ise, F üzerindeki global Langlands programý, yukarýdaki GL(n,F) gruplarýnýn yerine GL(n,AF) gruplarýný koyarak formüle edilir, burada AF F'nin adŽle halkasýdýr. Bu karmaþýk problemin özelliklerinden en belirgin olaný þudur: Eðer F gibi global bir cisim üzerindeki Langlands programý çözüldüðü takdirde, baþta (F'de tarif edilen) Arfin L-fonksiyonlarý hakkýndaki Artin kojektürü olmak üzere birçok (þimdiye kadar çözülmemiþ olan) problemler çözülmüþ olacak. Bu sebepten dolayý bugün dünyanýn birçok matematikçileri bu problemlere (global ve lokal Langlands programlarý ile) uðraþmaktadýr. Bu arada V. Drinfeld 1983'te, karakteristiði p olan lokal cisimler için Langlands programýný çözerek dünyayý þaþýrtmýþtýr. Dolayýsýyla, bugün dünyanýn en seçkin matematikçileri geri kalan halleri için Langlands programýný çözmeye çabalamaktadýr. Son günlerde lokal (global) sýnýf-cisim teorisinin de kurulabileceðine inanýlmaktadýr. Ancak, bu konuda þimdiye kadar sadece çeþitli konjektürler ortaya atýlmýþ, fakat pek az ilerleme kaydedilmiþtir. Böylece, Cahit Arf'ýn gençlik rüyasý hala çözülmemiþ olarak ortada kalmaktadýr.
Not: Langlands programý için Jacquet-Langlands: Automorphic Functions on GL(2), Springer Lecture Notes; Drinfeld'in çalýþmasý için G. Laumon: D-elliptie Sheaves and Langlands Correspondence, Invent. Math. (1995).

6. Ölümsüzlüðe Yaklaþmak
Cahit Bey deyince hemen ODTÜ Matematik Bölümü'nde beraber geçirdiðimiz günleri hatýrlarým. O günlerde kurulan, TÜBÝTAK tarafýndan desteklenen, Matematik Araþtýrma Ünitesi'nde, Cahit Bey'in etrafýnda yapýlan seminerlerin nasýl coþkulu ateþli ve çok geç vakitlere kadar devam ettiði; kendisinin her önüne gelen problem için daima çok orijinal ve isabetli fikirleri yürüttüðü; ODTÜ'nün fýrtýnalý günler geçirdiði döneme, kendisinin matematik bölümü mensuplarýna moral yönünden nasýl destek olduðu; bazen de keyiflendiði zaman ƒcole Normale'daki arkadaþýndan öðrendiði Baskça bir þarkýyý gür sesiyle söylediði vs. Nedense, herhalde dehasýyla humanist yaklaþýmdan dolayý olacak, Cahit Bey deyince Leonardo da Vinci hatýrýma gelir.

Fiziðe Cahit Bey, doðal olarak, bir matematikçi gözüyle bakardý. "Matematiksel Fizik" ona tanýþ gelir, fakat A. Sommerfeld'den kaynaklanan "Fiziksel Matematik" deyimini yadýrgardý. 1983'den sonra bir dönem, fizikteki bazý geliþmeleri: "Galaktika!" þeklinde deðerlendirildiðini anýmsýyorum. Ama, ileride bir gün fizikte, örneðin sicim teorisinde, "Arf Ýnvaryantlarý" ile karþýlaþýrsak þaþýrmayacaðým.

Cahit Bey'de haklý bir, gücüne güven duygusu, özgür bir mizO günlerden bir gün kantinde Cahit Bey ile öðle yemeði yiyordum. Nereden o konuya gelindiðini hatýrlayamýyorum, fakat konuþmamýzýn bilim adamlarýný araþtýrmalarýna iten sebepler etrafýnda cereyan etmiþti. Sonuçta iki sebep üzerinde fikir birliðine vardýk: "yaþadýðýmýzý hissetmek" ve "ölümsüzlüðe yaklaþmak". Descartes'in söylediði gibi, her insan, özellikle bir bilim adamý, düþünmekle kendisinin varlýðýný hisseder, yani yaþadýðýný hisseder. Diðer taraftan "üretme arzusu" insanýn temel içgüdülerinden biridir. Kimi insan çocuk ister, ve buna sebep olarak, ya "ailem devam etsin" veya "benim eserim olsun" der. Bu sabit örnek þunu göstermektedir: Her insan, kendisinin (kaçýnýlmaz olduðunu bildiði) ölümünden sonra da, kendisinin yarattýðý þeylerin bu dünyada kalmak suretiyle, dolaylý olarak bu dünyadaki yaþamýnýn devamýný saðlamak arzusundadýr, yani "ölümsüzlüðe yaklaþmak" istemektedir. Biz, bilim adamlarý, kendi branþýmýzda araþtýrmalar yaparak yaþadýðýmýzý hissederiz ve de ürettiðimiz eserlerin, ölümümüzden sonra kalmasýyla, ölümsüzlüðe yaklaþmaya çalýþmaktayýz.

Çok sevdiðimiz ve derin saygý duyduðumuz Cahit Bey'i kaybettikten sonra, bizim yapabileceðimiz þeyler arasýnda en baþta geleni, kendisinin bize býraktýðý matematiksel eserleri ölümsüzleþtirmektir. Bunun için her eserini yeniden inceleyip, Cahit Bey'in býraktýðý yerden daha ileriye doðru götürmeye çalýþmalýyýz. Ayný zamanda, hayatýný tam anlamýyla matematiðe adamýþ olan Cahit Bey'i örnek alarak, biz de yaþadýðýmýz sürece matematik yapmaya devam etmeliyiz, hem de kendisinin daima tekrarladýðý gibi, "diþlerimizi gýcýrdatarak"!

Bu yazýyý þu dizeler ile bitirmek istiyorum:

....Bana gelince, ben ayný konunun ve neredeyse ayný sözcüklerin, sonsuza dek yeniden ele alýnabileceðini ve tüm bir yaþamý kaplayabileceðini düþünürüm.
"Kusursuzluk" çalýþma demektir.

(Paul Valery (Çeviren: Semih Rýfat))